【因式分解的各种方法及解题思路.】作业帮

因式分解是MIDD中最重要的相同变换之一。,它广泛应用于初等数学中。,它是解决许多数学问题的有力工具。,技巧性强,学习这些方法和技巧,不仅要掌握因式分解的内容。,培养学生解决问题的能力。,培养学生的思维能力,他们都扮演着非常独特的角色。飞鸟二世高中数学教材M、运用公式法、分组分解和交叉乘法。,也有拆解和添加方法。,待定系数法,双交叉乘法,旋转对称法等。

提高公众因素的方法
①公因式:所有包含的公共因子称为该多项式的多项式。

提高公共因素的方法:一般地,如果多项式具有公共因子,你可以参考括号外的这个共同的因素。,多项式是作为因子的乘积而写成的。,这种因式分解的方法称为提高公共因子的方法。

am+bm+cm=m(a+b+c)

三。具体方法:当所有系数都是整数时,公共因子的系数应取最大公约数;字母表取相同的字母表。,字母索引最低。 如果多项式的第一项是负的,一般说来,-字是必需的。,括号中第一项的系数是正的。

用公式法

①平方差公式:. a^2-b^2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式: a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

可利用完全平方公式分解FAC的多项式,它们中的两个可以被写为两个数的平方和(或形式)。,另一个是这两个数字的乘积的2倍。

立方和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2).

三次差分公式:a^3-b^3= (A—B)(a^2+ab+b^2).

4完全立方公式: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(A—B)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)

群分解法

群分解法:多项式的分组,然后对这些因素进行分解。

群分解法必须有明确目的,分组后,它可以直接提高公共因素或使用公式。

⑷拆项、补项法

拆项、补项法:分解或填入两个多项式项(或几个),原来的公式适用于公共因子法。、运用公式法或群分解法进行分解;要注意,它必须以与原多项式相同的原理变形。

⑸十字相乘法

①x^2+(p Q型X PQ公式的因式分解

这两个和三个事件的特点是:这两个项的系数是1。;常数项是两个数的乘积。;一个项的系数是一个常数项的两个因子之和。,可以直接将某些这两个项的系数是1。的二次三项式因式分 x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q)

Kx^ 2+Mx n型公式的因式分解

如果它可以分解成k= ac,n=bd,还有AD BC= M 时,那么

kx^2+mx+n=(ax b)(CX) d)

a \—–/b ac=k bd=n

c /—–\d ad+bc=m

※ 多项式因式分解的一般步骤:

①如果多项式具有公共因子,第一,提高共同因素。;

2。如果没有共同的因素,然后尝试使用公式。、交叉乘法分解;

如果上述方法不能分解。,然后你可以尝试分组。、拆项、分解补法;

分解因子,每个多项式因子必须分解。

(6)应用因子定理:如果f(a)=0,f(x)必须包含一个因子(X-A)。例如,f(x)=x ^ 2 5x+6。,f(-2)=0,可以确定(x+2)是x^ 2+5x+6的一个因子。

经典实例:

1.分解因式(1+y)^22X^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2

原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)2X^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)2X^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2X))^2

=[(1+y)+x^2(1-y)2X]·[(1+y)+x^2(1-y)2X]

=(x^2-x^2y2X+y+1)(x^2-x^2y2X+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

2。证明:对于任意数量的x,y,下面公式的值将不为33。

x^5+3x^4y5X^3y^2+4xy^4+12y^5

原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)5X^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^45X^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

当y=0时,原始= x^ 5不等于33。;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,X-2Y是不同的。,而33不能分为四种以上产品的不同因素。,原来的命题成立了。
分解的十二种方法
将多项式转化为若干积分积形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,下面总结如下。:
1、 提高公众的法律
如果一个多项式包含所有的公共因子,,然后我们可以提高这个共同的因素。,因此,多项式被转换成两种乘积形式。
例1、 因式分解X 2X X(2003淮安期中考试)
x 2X -x=x(x 2X-1)
2、 应用公式法
因式分解与整数多重数之间存在相互关系。,如果乘法公式颠倒,它可以用来分解一些多项式的因式分解。
例2、因式分解 +4ab+4b (2003期南通期中考试)
a +4ab+4b =(a+2b)
3、 群分解法
多项式AM AN BM BN的因式分解必须因式分解。,你可以先把前两项分成一组。,并提出了共同的因素A。,把最后两项分成一组。,并提出了共同的因素B。,我们可以得到(m n) b(m n),有可能提出一个公共因子M N。,这样我们就可以得到(a b)(m n)
例3、因式分解M +5n-mn-5m
m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于MX PX Q形式的多项式,如果xb= m,c×d=q且ac+bd=p,多项式可以分解为(AX D)(BX C)
例4、分解因式7x -19x-6
分析: 1 -3
7 2
2-21=-19
7x -19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
对于不能使用公式法的多项式,一些可以用来形成一个完整的正方形。,然后采用平方差公式。,它可以分解其分解。
例5、因式分解X +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ – )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
你可以把多项式分割成部分。,然后进行因子分解。
例6、因式分解BC(B C) CA(C-A)-AB(A B)
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
BC(C-A) Ca(C-A) BC(A B)-Ab(A B)
C(C-A)(B A) B(A B)(C-A)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时当因子分解被分解时,您可以选择多项式的同一部分来替换另一个unkn。,然后进行因子分解。,最后,切换回来。
例7、因式分解2X -x -6x -x+2
2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
Y阶x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ 2)(2x) -5)
= (x 2X+1) (2X) 5X+2)
=(x+1) (2X)-1)(x-2)
8、 求根法
阶多项式f(x)=0,根是X。 ,x ,x ,……x ,多项式可以分解成F(x)=(X-X)。 (X-X) (X-X) )……(X-X) )
例8、因式分解2X +7x 2X -13x+6
令f(x)=2x +7x 2X -13x+6=0
通过综合划分,我们可以看到,F(x)=0根 ,-3,-2,1
然后是2X +7x 2X -13x+6=(2X)-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
使y=f(x),函数y=f(x)的图像,求函数图像与x轴x之间的交点 ,x ,x ,……x ,多项式可以分解成f(x)。 f(x)=(X-X) (X-X) (X-X) )……(X-X) )
例9、因式分解X 2X 5X-6
Y阶 x 2X 5X-6
使其形象,看到正确的图片,与X轴的交点为-3。,-1,2
则x 2X 5X-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
首先选择一个字母作为主要元素。,然后从高到低排列字母数字。,然后进行因子分解。
例10、因式分解 (B-C) B (C-A) C (A—B)
分析:本主题可以选择A作为主要元素。,把它们从高到低排列起来。
a (B-C) B (C-A) C (A—B)=a (B-C)-A(B) -c )+(b c-c b)
(B-C) [a A(B C) BC]
(B-C)(A—B)(a-c)
11、 特殊值法
X替代2或10,找出P的个数,质量因子的数分解,质量因素的适当组合,组合后的每一个因子都是以和或差的形式写成的。,恢复2或10至x,也就是说,因式分解。
例11、因式分解X +9x +23x+15
令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
素数因子的105乘积分解为3乘积,这是105=3×5×7。
注意,多项式中最高项的系数是1。,而3、5、7×1。,x+3,x+5,x=2的值
则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系数法
首先,确定保理的形式。,然后设置相应整数的字母系数。,求出字母系数,因此,我们分解多项式分解。
例12、因式分解X -x 5X -6x-4
分析:Yi的多项式没有单一的因素。,因此,它只能分解为22个因素。
设x -x 5X -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x 5X -6x-4 =(x +x+1)(x 2X-4)

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